2. Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

2. Dereceden Denklemler

2. DERECE DENKLEM TANIMI

a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere;

a x2 + b x + c = 0

biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken;

Δ = b2 – 4ac

ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.

Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.

1. D > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.

Bu kökler;

x1,2=bΔ2ax1,2=–b∓Δ2a

2. D = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.

Bu kökler;

x1=x2=b2ax1=x2=–b2a

3. Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda
çözümü yoktur.

Örnek:

3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

a=3 , b= -10 , c=3 ve

Δ=b2-4ac eşitliğinden;

Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.

Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;

x1,2=bΔ2a=10642.3=1086x1,2=–b∓Δ2a=10∓642.3=10∓86

2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER

Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim.

Örnek:

x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u2-5u+4=0 haline dönüşür.

u2-5u+4=0 Þ (u-4)(u-1)=0

Þ u=4 ve u=1 olur.

Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından

x=± 2 ve x=± 1 bulunur.

Ç={-2,-1,1,2} ‘dir.

 

Örnek:

(x2-5x)-2 (x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x2-5x=u dönüşümü yapılırsa;

u-2u -24=0 olur ki;

Þ (u-6)(u+4)=0

Þ u=6 ve u=-4 bulunur.

Öyleyse;

x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından

x2-5x-6=0 Þ (x-6)(x+1)=0

Þ x=6 ve x=-1 olur.

x2-5x+4=0 Þ (x-4)(x-1)=0

Þ x=4 ve x=1 olur.

Ç={-1,1,4,6} ‘dir.

 

Örnek:

4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u2+u-6=0 haline dönüşür.

u2+u-6=0 Þ (u+3)(u-2)=0

Þ u=-3 ve u=2 olur.

Öyleyse; 2m=-3 Þ çözüm yoktur.

ve 2m=2 Þ m=1 olacağından

Ç={1} ‘dir.

2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax+ bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri, x1 ve x2 olmak üzere;

x1+x2=bax1x2=cax1+x2=–bax1⋅x2=ca

Örnek:

x2 – 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz.

Çözüm:

x1+x2= – b /a olduğundan

x1+x2= 6 bulunur.

 

Örnek:

-3x2 – 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.

Çözüm:

x1.x2= c /a olduğundan

x1.x2= -1 /3 bulunur.

 

3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax+ bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x1, x2 ve x3 olmak üzere;

x1+x2+x3=bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=dax1+x2+x3=–bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=–da

KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU

ikinci dereceden bir denkleminin kökleri,

x1 ve x2 olmak üzere, denklem;


x– (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.

Örnek:

Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz.

Çözüm:

x1+x2= (-2)+3=1

x1+x2= (-2).3=-6 bulunur.

x-(x1+x2)+x1.x2=0

x-(1)x+(-6)=0

x– x – 6 = 0 bulunur.

   

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir