Bölme Ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme Ve Bölünebilme Konu Anlatımı

 A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere,

bölme işleminde,

  • A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  • A = B  C + K dir.
  • Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  • Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda A ve K değişmez.
  • K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebilir.

    B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

    1. 2 İle Bölünebilme

    Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

    Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

    2. 3 İle Bölünebilme

    Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

    Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

    3. 4 İle Bölünebilme

    Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

    … abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

  • … abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

    c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

    4. 5 İle Bölünebilme

    Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

    Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

    5. 7 İle Bölünebilme

    (n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

     olmak üzere,

    (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … = 7k

    olmalıdır.

    Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının (…aaaaaa0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
    (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +…– … …işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

     

    Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,

    (H + 3  G + 2  F) – (E + 3  D + 2  C) + (B + 3  A) işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalandır.

     

    6. 8 İle Bölünebilme

    Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

    3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

    Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının (… abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 × b + 4 × a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

     

    7. 9 İle Bölünebilme

    Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

    Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

    8. 10 İle Bölünebilme

    Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

    9. 11 İle Bölünebilme

    (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

    (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

    ve  olmalıdır.

    (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
    (a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

     

    Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

    • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 2  3 = 6 ile de tam bölünür.
    • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 3  4 = 12 ile de tam bölünür.
    • 4 ve 6 ile tam bölünen sayılar 4  6 = 24 ile tam bölünemeyebilir. Çünkü 4 ile 6 aralarında asal değildir.

    C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

    A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

    A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

    B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

    Buna göre,

  •  B nin C ile bölümünden kalan K1  K2 dir.
  • A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
  • A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
  •  A nın C ile bölümünden kalan D  K1 dir.
  • AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.

    Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

    D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

    Bir A doğal sayısı B × C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B × C ile tam bölünür.) doğru olmayabilir.

  • 144 sayısı 2  6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  • 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2  6 = 12 ile tam bölünemez.

    E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

    Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılması denir.

    a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

    A = am . bn . ck  olsun.

    Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:

  • A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,

    (m + 1)  (n + 1)  (k + 1) dir.

  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
  • A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,

     (m + 1)  (n + 1)  (k + 1) dir.

  • A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  • A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,

  • A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  • A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,

    – (a + b + c) dir.

  • A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısı,

  • A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

   

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir