Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Çarpanlara Ayırma Özellikleri

1. Ortak Çarpan Parantezine Almak
2. Gruplandırma Yöntemi
3. Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
4. ax² +bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması

Rasyonel İfadeler ve Sadeleştirilmesi

1. Ortak Çarpan Parantezine Almak
   

ifadesinin tüm terimlerini tam olarak bölen ifade x² dir. İfadeyi x² parantezine alırsak:

olur.

Örnek:

x.(x–2)+x2.(x–2)x.(x–2)+x2.(x–2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Bu ifadenin terimlerini tam bölen x.(x–2)x.(x–2) dir.

O halde, x.(x–2)+x2.(x–2)=x.(x–2).(1+x)x.(x–2)+x2.(x–2)=x.(x–2).(1+x) biçiminde yazılır.

1. Gruplandırma Yöntemi
   

En az dört terimi olan ifadeler uygun şekilde gruplandırılır.

Örnek:

xy–my+xa–maxy–my+xa–ma ifadesini çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

xy–my+xa–ma=y(x–m)+a(x–m)=(x–m).(y+a)xy–my+xa–ma=y(x–m)+a(x–m)=(x–m).(y+a)

Özdeşliklerden Yaralanarak Çarpanlarına Ayırma

1. İki kare farkı
   

x2–y2=(x–y).(x+y)x2–y2=(x–y).(x+y)

Örnek:

(a–b)2–(a+b)2=(a–b–a–b)⋅(a–b+a+b)=–2b⋅2a=–4ab(a–b)2–(a+b)2=(a–b–a–b)⋅(a–b+a+b)=–2b⋅2a=–4ab

1. Tam Kare İfadeler
   

(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x–y)3=x3–3x2y+3xy2–y3(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x–y)3=x3–3x2y+3xy2–y3

Örnek:

(3x–2y)2=(3x)2–2⋅(3x)⋅(2y)+(–2y)2=9x2–12xy+4y2(3x–2y)2=(3x)2–2⋅(3x)⋅(2y)+(–2y)2=9×2–12xy+4y2

1. İki Küp Farkı, İki Küp Toplamı
   

Örnek:

8x3–y3=(2x)3–y3=(2x–y)⋅[(2x)2+2xy+y2]=(2x–y)⋅(4x2+2xy+y2)8×3–y3=(2x)3–y3=(2x–y)⋅[(2x)2+2xy+y2]=(2x–y)⋅(4×2+2xy+y2)

ax²+bx+c ifadesinin çarpanlara ayrılması

b2+4ac⩾0b2+4ac⩾0 ise ax2+bx+cax2+bx+c ifadesini reel sayılar kümesinde çarpanlara ayırma.

a=1 olsun. Bu durumda x²+bx+c şeklini alır. Bu ifade b=k+p ve c=k.p olacak şekilde k ve p reel sayıları varsa;

x2+bx+c=x2+(k+p)⋅x+kp=(x+p)⋅(x+k)x2+bx+c=x2+(k+p)⋅x+kp=(x+p)⋅(x+k) olur.

Örnek:

x2+7x+12=(x+4)⋅(x+3)x2+7x+12=(x+4)⋅(x+3)

Örnek:

x2–3x+2=(x–2)⋅(x–1)x2–3x+2=(x–2)⋅(x–1)

a≠ba≠b olsun.

ax2+bx+cax2+bx+c ifadesinde,

olacak şekilde a, b, c sayıları varsa;

ax2+bx+c=(mx+k)⋅(nx+p)ax2+bx+c=(mx+k)⋅(nx+p)

5x2+16x+3=(5x+1)⋅(x+3)5×2+16x+3=(5x+1)⋅(x+3)

RASYONEL İFADELER VE SADELEŞTİRİLMESİ

P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x)=0.

P(x)Q(x)P(x)Q(x) rasyonel ifade denir.

Örnek:

x+52x+1x+52x+1 ifadesi bir rasyonel ifadedir.

Örnek:

x2–2xx3–4x÷1x+2x2–2xx3–4x÷1x+2 ifadesinin en sade şekli nedir?

Çözüm:

x2–2xx3–4x÷1x+2=x.(x–2)x.(x2–4)×x+21=x–2(x–2).(x+2)×x+21=1