2. Dereceden Denklemler Konu Anlatımı

a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere;

a x² + b x + c = 0

biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken;

Δ = b² – 4ac

ifadesine bakılır. Bu değere ikinci derece denklemin DİSKRİMİNANTI (Delta) denir.

Şimdi diskriminantın durumlarını inceleyelim.

1. D > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.

Bu kökler;

x1,2=–b∓Δ√2ax1,2=–b∓Δ2a

2. D = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.

Bu kökler;

x1=x2=–b2ax1=x2=–b2a

3. Δ < 0 ise denklemin reel sayılarda
çözümü yoktur.

Örnek:

3x²-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

a=3 , b= -10 , c=3 ve

Δ=b²-4ac eşitliğinden;

Δ=(-10)²-4.3.3=100-36=64 bulunur.

Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;

x1,2=–b∓Δ√2a=10∓64√2.3=10∓86x1,2=–b∓Δ2a=10∓642.3=10∓86

2.DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER

Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir. Konuyu örneklerle izah edelim.

Örnek:

x⁴-5x²+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x²=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u²-5u+4=0 haline dönüşür.

u²-5u+4=0 Þ (u-4)(u-1)=0

Þ u=4 ve u=1 olur.

Öyleyse; x²=4 ve x²=1 olacağından

x=± 2 ve x=± 1 bulunur.

Ç={-2,-1,1,2} ‘dir.

Örnek:

(x²-5x)² -2 (x²-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x²-5x=u dönüşümü yapılırsa;

u² -2u -24=0 olur ki;

Þ (u-6)(u+4)=0

Þ u=6 ve u=-4 bulunur.

Öyleyse;

x²-5x=6 ve x²-5x=-4 olacağından

x²-5x-6=0 Þ (x-6)(x+1)=0

Þ x=6 ve x=-1 olur.

x²-5x+4=0 Þ (x-4)(x-1)=0

Þ x=4 ve x=1 olur.

Ç={-1,1,4,6} ‘dir.

Örnek:

4^m+2^m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

2^m=u dönüşümü yapılırsa denklem,

u²+u-6=0 haline dönüşür.

u²+u-6=0 Þ (u+3)(u-2)=0

Þ u=-3 ve u=2 olur.

Öyleyse; 2^m=-3 Þ çözüm yoktur.

ve 2^m=2 Þ m=1 olacağından

Ç={1} ‘dir.

2.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri, x₁ ve x₂ olmak üzere;

x1+x2=–bax1⋅x2=cax1+x2=–bax1⋅x2=ca

Örnek:

x² – 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz.

Çözüm:

x₁+x₂= – b /a olduğundan

x₁+x₂= 6 bulunur.

Örnek:

-3x² – 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.

Çözüm:

x₁.x₂= c /a olduğundan

x₁.x₂= -1 /3 bulunur.

3.DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax³ + bx² +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri, x₁, x₂ ve x₃ olmak üzere;

x1+x2+x3=–bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=–dax1+x2+x3=–bax1x2+x2x3+x1x3=cax1.x2.x3=–da

KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU

ikinci dereceden bir denkleminin kökleri,

x₁ ve x₂ olmak üzere, denklem;

x² – (x₁+x₂)+x₁.x₂=0 biçimindedir.

Örnek:

Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz.

Çözüm:

x₁+x₂= (-2)+3=1

x₁+x₂= (-2).3=-6 bulunur.

x² -(x₁+x₂)+x₁.x₂=0

x² -(1)x+(-6)=0

x² – x – 6 = 0 bulunur.