Özdeşlikler Konu Anlatımı

Özdeşlikler Konu Anlatımı ile matematiksel ifadelerin sabit doğrularını keşfedin. Çeşitli özdeşliklerin mantığını ve kullanımını anlayın!

ÖZDEŞLİK NEDİR?

İçindeki değişkenlere verilen bütün gerçek sayılar için doğru olan denklemlere özdeşlik denir.

Özdeşlik mi? Özdeşlik Değil mi?

Özdeşlik mi yoksa denklem mi?’ diye sorgulamak hatalı bir yaklaşımdır çünkü özdeşlikler de aslında denklemlerdir. Doğru soru, ‘Bu ifade bir özdeşlik mi, yoksa değil mi?’ şeklinde olmalıdır. Bunu anlamak için çalışalım. Özdeşlik ve özdeşlik olmayan denklemler arasındaki ana fark şudur: Özdeşliklerde, değişken için verilen her gerçek sayı değeri eşitliği sağlar. Özdeşlik olmayan bir denklemlerde ise eşitlik yalnızca belirli gerçek sayı değerleri için geçerlidir.

ÖRNEK: 2.(x − 2) = 2x − 4 ve 2.(x − 2) = 4 eşitliklerinde x yerine farklı değerler vererek eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

x yerine her iki eşitlikte de 1 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(1 − 2) = 2.1 − 4
−2 = −2

2.(x − 2) = 4
2.(1 − 2) = 4
−2 ≠ 4

x yerine her iki eşitlikte de 2 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(2 − 2) = 2.2 − 4
0 = 0

2.(x − 2) = 4
2.(2 − 2) = 4
0 ≠ 4

x yerine her iki eşitlikte de 4 yazalım

2.(x − 2) = 2x − 4
2.(4 − 2) = 2.4 − 4
4 = 4

2.(x − 2) = 4
2.(4 − 2) = 4
4 = 4

Görüldüğü gibi soldaki eşitlik x yerine yazdığımız üç değer için de sağlandı. Sağdaki eşitlik ise x yerine sadece 4 yazdığımızda sağlandı. Bu yüzden: 2.(x − 2) = 2x − 4 bir özdeşlikti, 2.(x − 2) = 4 özdeşlik değildir.

• Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamak için farklı değerler verip eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Eğer verilen tüm değerler için sağlamıyorsa özdeşlik değildir.
• Bir eşitliğin özdeşlik mi denklem mi olduğunun ikinci yolu ise denklemi çözmektir. Eğer denklemi çözdükten sonra 0=0 çıkıyorsa bu denklem bir özdeşliktir.

ÖRNEK: 3x − 5 = x + 3 ve 2x + 2 = 2 + 2x eşitliklerinden özdeşlik olanlarını belirleyelim.

Önce ilk denklemi çözelim.

3x − 5 = x + 3
3x − x = 3 + 5
2x = 8
x = 4

İlk eşitlik özdeşlik değildir. (Sadece x=4 için eşitlik sağlanır.)

Şimdi ikinci denklemi çözelim.

2x + 2 = 2 + 2x
2x − 2x = 2 − 2
0 = 0

İkinci eşitlik bir özdeşliktir. (x’in her değeri için eşitlik sağlanır.)

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Toplamının Karesi

İki terimin toplamının karesi, bu iki terimin kareleri ve bu iki terimin çarpımının iki katının toplamına eşittir.
(a + b)² = a² + 2ab + b²

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 102’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

(100 + 2)² = 100² + 2.100.2 + 2²
(100 + 2)² = 10000 + 400 + 4
(100 + 2)² = 10404

Tam Kare Özdeşliği – İki Terimin Farkının Karesi

İki terimin farkının karesi, bu iki terimin kareleri toplamından bu iki terimin çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir.
(a − b)² = a² − 2ab + b²

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 97’nin karesini bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

(100 − 3)² = 100² − 2.100.3 + 3²
(100 − 3)² = 10000 − 600 + 9
(100 − 3)² = 9409

İki Kare Farkı Özdeşliği

İki terimin karelerinin farkı, bu iki terimin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.
a² − b² = (a − b) . (a + b)

ÖRNEK: Bu özdeşliği şu şekilde kullanabiliriz. 75’in karesi ile 25’in karesinin farkını bu özdeşlik sayesinde şu şekilde bulabiliriz.

75² − 25² = (75 − 25) . (75 + 25)
75² − 25² = 50 . 100
75² − 25² = 5000

BİR KAÇ ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK

• İKİ KARE FARKI

a² − b² = (a − b) . (a + b)

• İKİ KARE TOPLAMI

a² + b² =  (a − b)² + 2ab

a² + b² =  (a + b)² − 2ab

• TAM KARE İFADELER

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)² = (a − b)²  + 4ab

(a − b)² = (a + b)²  − 4ab

• İKİ KÜP FARKI

a³ − b³ = (a − b) . (a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b) . (a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab . (a − b)

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab . (a + b)

• KÜP AÇILIMI

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³