Logaritma Konu Anlatımı

Logaritma Konu Anlatımı: Logaritmanın temel kavramlarını, çeşitli logaritma kurallarını ve bu matematiksel işlemin günlük ve bilimsel uygulamalarını keşfedin.

Logaritma

Üstel Fonksiyonlar ve Logaritmik Fonksiyonlar

2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)

Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

ÜSTEL FONKSİYONLAR

  olmak üzere,

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

LOGARİTMA FONKSİYONU

 olmak üzere,

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

şeklinde gösterilir. Buna göre,

y = log_ax ifadesinde y ∈ R sayısına x ∈ R⁺ sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Kural

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre, her a ∈ R⁺ – {1} olmak üzere log_aa= 1 dir.

Kural

Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre, her a ∈ R⁺– {1} olmak üzere log_a1= 0 dır.

Kural

Kural

Kural

Kural

ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

f: R⁺ → R, f(x)=log₁₀x= logx

1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

Not: Logaritmanın tabanı yazılmamışsa tabanı 10 demektir.

Kural

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir. 0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) = log_ax fonksiyonunda taban

ℓ = 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

f: R⁺ → R, f(x)=log_ex= lnx tir.

İşlemlerde genellikle log_ex yerine lnx ifadesi kullanılır.

Logaritma Fonksiyonun Tersinin Alınması

1. Fonksiyon y’e eşitlenir.
2. x yalnız bırakılır.
3. x yerine f^-1(x)  yazılır, y yerine x yazılır.

LOGARİTMALI DENKLEMLER

Özellik

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem, log_af(x) = b ise f(x) = a^bdir. log_af(x) =log_ag(x) ise f(x) = g(x) dir.

Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.

Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Kural

log_af(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.