Koordinat Düzlemi ve Noktanın Analitiği Konu Anlatımı: Koordinat sisteminin temellerini, noktaların analitik incelenmesini ve bu kavramların matematikteki uygulamalarını öğrenin.
Koordinat Sistemi
Sayı Doğrusu Üzerinde Bulunan Noktaların Koordinatları
Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir sayı karşılık gelir. Bu sayıya o noktanın koordinatı denir?
O noktasına başlangıç noktası veya orjin denir. Orjinin sağındaki noktalar birer artar, solundaki noktalar birer azalır.
Örnek 1: Yukarıdaki sayı doğrusunda;
A noktasının koordinatı A(-6)
B noktasının koordinatı B(-3)
C noktasının koordinatı C(+1)
D noktasının koordinatı D(+4)
Düzlemde Bir Noktanın Koordinatları
Bir düzlemde başlangıç noktalarında dik kesişen iki sayı doğrusundan yatay olan x x’ sayı doğrusuna x ekseni veya apsis ekseni, düşey olan y y’ sayı doğrusuna da y ekseni veya ordinat ekseni denir.
O noktası başlangıç noktası yani orjin olan dik koordinat eksenlerinin oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi ve sistemin bulunduğu düzleme dik koordinat düzlemi denir.
Koordinat eksenleri koordinat düzlemini 4 bölgeye ayırır.
I. bölge – x pozitif, y pozitif
II. bölge – x negatif, y pozitif
III. bölge – x negatif, y negatif
IV. bölge – x pozitif, y negatif
Dik koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları A(x,y) şeklinde yazılır. Burada virgülden önceki sayı apsisi, virgülden sonraki sayı ordinatı gösterir.
Örnek 2 : Apsisi +5, ordinatı -3 olan B noktasının koordinatı B(5,-3) şeklinde yazılır.
Apsis ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. Bir C noktası x ekseni üzerindeyse koordinatı C(x, 0) olur.
Ordinat ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır. Bir D noktası y ekseni üzerindeyse koordinatı D(0,y) dir.
Başlangıç noktasının koordinatları O(0, 0) dır.
Bir noktanın koordinatının bulunması için noktadan x ve y eksenlerine dikler çizilir.
Noktanın Analitik İncelemesi
Analitik Düzlem:
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
Dik koordinat sistemi
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.
Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.
P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.
Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.
- Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.
- Bölge: x > 0
y > 0
- Bölge: x < 0
y > 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
- Bölge: x > 0
y < 0
İki nokta arasındaki uzaklık
Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.
Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.A(a, c) veB(a, b) noktaları için |AB| = |c – b|
Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.
A(b, a) ve
B(c, a) noktaları için
|AB| = |c – b|
- Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık
Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;
eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.
İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.
İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsislerifarkı ise diğer dik kenarıdır.Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.
Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı
Orta Nokta Koordinatları
Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise
- Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.
ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD]nin de orta noktasıdır.Buradan;x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4
Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları
Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.
A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,
eşitliği vardır.
Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkeziG(xG,yG) iseağırlık merkezikoordinatları:
Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.
Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı
Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.
- Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
- Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.
