Faktöriyel Konu Anlatımı ile matematikteki bu temel kavramı derinlemesine öğrenin. Sayıların faktöriyelini hesaplama yöntemleri ve uygulamaları!
FAKTÖRİYEL NEDİR?
n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! şeklinde gösterilir.
n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n ‘dir.
0! = 1 olarak kabul edilir.
ÖRNEK: Bazı doğal sayıların faktöriyellerini hesaplayalım.
0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040
NOT: n! aşağıdaki şekillerde de yazılabilir.
n! = n . (n − 1)!
n! = n . (n − 1) . (n − 2)!
ÖRNEK: Yukardaki not ile ilgili aşağıdaki eşitlikleri inceleyelim.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6! şeklinde yazılabilir.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6.5! şeklinde yazılabilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.
10!8!10!8! = 10.9.8!8!10.9.8!8! = 10.9 = 90
13!−12!1213!−12!12 = 13.12!−12!1213.12!−12!12 = 12!(13−1)1212!(13−1)12 = 12!(12)1212!(12)12 = 12!
FAKTÖRİYEL İLE SAYMANIN TEMEL PRENSİBİ İLİŞKİSİ
Faktöriyel işlemi, çarpma yoluyla sayma yani saymanın temel prensibi kullanılan saymalarda da kullanılır.
Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n . (n – 1) . (n – 2) . … . 3 . 2 . 1 = n! farklı şekilde sıralanabilir.
Soru: Bir okulun 5 öğrencisi, sıralı olarak 5 farklı otobüs durağında otobüse binmek istiyor. Her öğrenci, bu duraklardan herhangi birinde otobüse binebilir ve her durakta en fazla bir öğrenci binmektedir. Bu öğrenciler, otobüse kaç farklı şekilde binebilirler?
Çözüm:
1.YOL: Saymanın Temel Prensibi ile Çözüm
Bu durumda, her öğrenci için 5 farklı seçenek vardır. İlk öğrenci 5 farklı duraktan birine gidebilir, ikinci öğrenci kalan 4 duraktan birine, ve böyle devam eder.
Bu yüzden toplam seçenek sayısı = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 farklı şekilde otobüse binebilirler.
2.YOL: Faktöriyel Kullanarak Çözüm
5 öğrencinin 5 farklı durakta otobüse binme şekilleri, 5 faktöriyel (5!) ile hesaplanabilir.
Yani, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 farklı şekilde otobüse binebilirler.
Soru: “MASA” kelimesinin harfleriyle aynı harflere sahip anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime oluşturulabilir?
Çözüm:
1.YOL: Saymanın Temel Prensibi ile Çözüm
“MASA” kelimesindeki harflerle, her harf birer kez kullanılarak, 4 harfli farklı kelimeler oluşturulabilir. İlk harf için 4, ikinci harf için 3, üçüncü harf için 2 ve son harf için 1 seçenek vardır. Bu yüzden toplam sayı: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 farklı kelime oluşturulabilir.
2.YOL: Faktöriyel Kullanarak Çözüm
Oluşturulacak kelimede M, A, S, A harflerinden M, S ve iki A birer kez yer alacaktır. Ancak burada iki tane A harfi olduğu için durum biraz farklıdır. Normalde 4 harfli bir kelime için 4! = 24 farklı sıralama vardır, ancak iki A’nın yer değiştirmesi aynı kelimeyi vereceği için bu durumu düzeltmemiz gerekiyor.
Bu yüzden toplam sayı: 4!/2!=4×3×2×1/2×1 farklı kelime oluşturulabilir, çünkü iki A harfinin yer değiştirmesi aynı kelimeyi verir.
