Sayılar Konu Anlatımı

 

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar

={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar

= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

4. Tam Sayılar

 = {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : , pozitif tam sayılar kümesi :  ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre,  dır.

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla  biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

 biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi  ile gösterilir.

Buna göre,  kümesinin elemanları  biçiminde gösterilemez.

(a, b Π ve b ¹ 0)

Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

 biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

 kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

 olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , –2n , … , –4, –2, 0, 2, 4, … , 2n , …}

kümesinin elemanlarının her biri çift sayıdır.

2. Tek Sayı

 olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , –(2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} kümesinin elemanlarının her biri tek sayıdır.

İki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek sayıdır.T bir tek sayı olmak üzere, T + T toplamı çift, T – T farkı çift, T × T çarpımı tek sayıdır.

İki çift sayının toplamı, farkı ve çarpımı çift sayıdır.Ç bir çift sayı olmak üzere, Ç + Ç toplamı çift, Ç – Ç farkı çift, Ç × Ç çarpımı çift sayıdır.

Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ve farkı tek sayı çarpımı çift sayıdır.T bir tek sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, T + Ç toplamı tek, Ç + T toplamı tek, T – Ç farkı tek, Ç – T farkı tek, T × Ç çarpımı çift sayıdır.

Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu çift ise, çarpanlardan en az biri çift sayıdır.

Tam sayılar kümesinde, bir çarpımın sonucu tek ise, çarpanlardan her biri tek sayıdır.

Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır. Buna göre, n pozitif tam sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, Çn nin sonucu daima çift sayıdır.

Tek sayıların tüm doğal sayı kuvvetleri yine bir tek sayıdır. Buna göre, n bir doğal sayı ve T bir tek sayı olmak üzere, Tn nin sonucu daima tek sayıdır.

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.

• Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
• Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
• Sıfır (0) çift sayıdır.

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

a < b < 0 < c < d  olmak üzere,

• a, b negatif sayılardır.
• c, d pozitif sayılardır.
• İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
• İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)

Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

• Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
• Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
• Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
• Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
• Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
• Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

• En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
• Asal sayıların çarpımı asal değildir.

Asal olmayan, 1 den büyük tam sayılara bileşik sayı denir.

5. Aralarında Asal

Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

n bir tam sayı olmak üzere, Ardışık dört tam sayı sırasıyla; n, n + 1, n + 2, n + 3 tür. Ardışık dört çift sayı sırasıyla; 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır. Ardışık dört tek sayı sırasıyla; 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir. Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla; 3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Bazı Ardışık Sayıların Toplamı

n bir sayma sayısı olmak üzere,

• l Ardışık sayma sayılarının toplamı

• Ardışık pozitif çift doğal sayıların toplamı

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

• Ardışık tek doğal sayıların toplamı

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

• Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,